حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(2 x + 9 y)}^{2} = - 8 x^{2} - 10 y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(2 x + 9 y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} - 10 y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(2 x + 9 y)}^{2}$ بالصيغة $(2 x + 9 y) (2 x + 9 y)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 9 y) (2 x + 9 y)]$

خطوة 2.2

وسّع $(2 x + 9 y) (2 x + 9 y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 9 y) + 9 y (2 x + 9 y)]$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (9 y) + 9 y (2 x + 9 y)]$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (9 y) + 9 y (2 x) + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (9 y) + 9 y (2 x) + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (9 y) + 9 y (2 x) + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (9 y) + 9 y (2 x) + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x (9 y) + 9 y (2 x) + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 \cdot 9 x y + 9 y (2 x) + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 18 x y + 9 y (2 x) + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 18 x y + 9 \cdot 2 y x + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3.1.7

اضرب $9$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 18 x y + 18 y x + 9 y (9 y)]$

خطوة 2.3.1.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 18 x y + 18 y x + 9 \cdot 9 y \cdot y]$

خطوة 2.3.1.9

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.9.1

انقُل $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 18 x y + 18 y x + 9 \cdot 9 (y \cdot y)]$

خطوة 2.3.1.9.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 18 x y + 18 y x + 9 \cdot 9 y^{2}]$

خطوة 2.3.1.10

اضرب $9$ في $9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 18 x y + 18 y x + 81 y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أضف $18 x y$ و $18 y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 18 x y + 18 x y + 81 y^{2}]$

خطوة 2.3.2.2

أضف $18 x y$ و $18 x y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 36 x y + 81 y^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 36 x y + 81 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x y] + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x y] + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.4.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x y] + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x y] + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.4.4

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [36 x y] + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.4.5

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $36 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $36 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 x + 36 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$8 x + 36 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$8 x + 36 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 x + 36 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.7.2

اضرب $y$ في $1$ .

$8 x + 36 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [81 y^{2}]$

خطوة 2.7.3

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $81 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $81 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 36 (x y' + y) + 81 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$8 x + 36 (x y' + y) + 81 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 x + 36 (x y' + y) + 81 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$8 x + 36 (x y' + y) + 81 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $81$ .

$8 x + 36 (x y' + y) + 162 (y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.10

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$8 x + 36 (x y' + y) + 162 y y'$

خطوة 2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 x + 36 (x y') + 36 y + 162 y y'$

خطوة 2.11.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$8 x + 36 x y' + 36 y + 162 y y'$

خطوة 2.11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$36 x y' + 162 y y' + 8 x + 36 y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 8 x^{2} - 10 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 y^{2}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $- 8$ .

$- 16 x + \frac{d}{d x} [- 10 y^{2}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 16 x - 10 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$- 16 x - 10 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 16 x - 10 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$- 16 x - 10 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 16 x - 10 (2 y y')$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $- 10$ .

$- 16 x - 20 y y'$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 20 y y' - 16 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$36 x y' + 162 y y' + 8 x + 36 y = - 20 y y' - 16 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أضف $20 y y'$ إلى كلا المتعادلين.

$36 x y' + 162 y y' + 8 x + 36 y + 20 y y' = - 16 x$

خطوة 5.1.2

أضف $162 y y'$ و $20 y y'$ .

$36 x y' + 182 y y' + 8 x + 36 y = - 16 x$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $8 x$ من كلا المتعادلين.

$36 x y' + 182 y y' + 36 y = - 16 x - 8 x$

خطوة 5.2.2

اطرح $36 y$ من كلا المتعادلين.

$36 x y' + 182 y y' = - 16 x - 8 x - 36 y$

خطوة 5.2.3

اطرح $8 x$ من $- 16 x$ .

$36 x y' + 182 y y' = - 24 x - 36 y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $36 x y' + 182 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $36 x y'$ .

$2 y' (18 x) + 182 y y' = - 24 x - 36 y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $182 y y'$ .

$2 y' (18 x) + 2 y' (91 y) = - 24 x - 36 y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' (18 x) + 2 y' (91 y)$ .

$2 y' (18 x + 91 y) = - 24 x - 36 y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $2 y' (18 x + 91 y) = - 24 x - 36 y$ على $2 (18 x + 91 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $2 y' (18 x + 91 y) = - 24 x - 36 y$ على $2 (18 x + 91 y)$ .

$\frac{2 y' (18 x + 91 y)}{2 (18 x + 91 y)} = \frac{- 24 x}{2 (18 x + 91 y)} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (18 x + 91 y)}{2 (18 x + 91 y)} = \frac{- 24 x}{2 (18 x + 91 y)} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (18 x + 91 y)}{18 x + 91 y} = \frac{- 24 x}{2 (18 x + 91 y)} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $18 x + 91 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (18 x + 91 y)}{18 x + 91 y} = \frac{- 24 x}{2 (18 x + 91 y)} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 24 x}{2 (18 x + 91 y)} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 24 x$ .

$y' = \frac{2 (- 12 x)}{2 (18 x + 91 y)} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 12 x)}{2 (18 x + 91 y)} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 12 x}{18 x + 91 y} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{12 x}{18 x + 91 y} + \frac{- 36 y}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 36 y$ .

$y' = - \frac{12 x}{18 x + 91 y} + \frac{2 (- 18 y)}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{12 x}{18 x + 91 y} + \frac{2 (- 18 y)}{2 (18 x + 91 y)}$

خطوة 5.4.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{12 x}{18 x + 91 y} + \frac{- 18 y}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{12 x}{18 x + 91 y} - \frac{18 y}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 12 x - 18 y}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2.2

أخرِج العامل $6$ من $- 12 x - 18 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $- 12 x$ .

$y' = \frac{6 (- 2 x) - 18 y}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2.2.2

أخرِج العامل $6$ من $- 18 y$ .

$y' = \frac{6 (- 2 x) + 6 (- 3 y)}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2.2.3

أخرِج العامل $6$ من $6 (- 2 x) + 6 (- 3 y)$ .

$y' = \frac{6 (- 2 x - 3 y)}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{6 (- (2 x) - 3 y)}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y$ .

$y' = \frac{6 (- (2 x) - (3 y))}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{6 (- (2 x + 3 y))}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.6.1

أعِد كتابة $- (2 x + 3 y)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{6 (- 1 (2 x + 3 y))}{18 x + 91 y}$

خطوة 5.4.3.2.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{6 (2 x + 3 y)}{18 x + 91 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 (2 x + 3 y)}{18 x + 91 y}$