حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {\sin (x)}^{\ln (x)}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$

خطوة 2

وسّع $\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$ بنقل $\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.4

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.6

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{1}{x}$

خطوة 3.2.7

اجمع $\ln (\sin (x))$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 3.2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 3.2.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 3.2.8.2.2

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 3.2.8.2.3

اجمع $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ و $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \ln (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 3.2.8.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.3.1

افصِل الكسور.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 3.2.8.3.2

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{1} \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 3.2.8.3.3

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (\ln (x) \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = (\ln (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.1.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x} {\sin (x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)}$ و ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x} {\sin (x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.4

اجمع $\frac{\ln (\sin (x))}{x}$ و ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5

احذِف العامل المشترك لـ ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ و $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اضرب في $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5.2.4

اقسِم $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}$ على $1$ .

$y' = \ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.6

لكتابة $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (x))}{x}$