حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$

خطوة 2

وسّع $\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$ بنقل $\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (9 x))] + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (9 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.4

حوّل من $\frac{1}{\sin (9 x)}$ إلى $\csc (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 9 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $9 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.5.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $9 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \cdot 1)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.3.1

اضرب $9$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) \cdot 9) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.6.3.2

انقُل $9$ إلى يسار $\csc (9 x) \cos (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \cdot (\csc (9 x) \cos (9 x))) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.7

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{1}{x}$

خطوة 3.2.8

اجمع $\ln (\sin (9 x))$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 3.2.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \csc (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 3.2.9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.2.1

أعِد كتابة $\csc (9 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 3.2.9.2.2

اضرب $9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.2.2.1

اجمع $\frac{1}{\sin (9 x)}$ و $9$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9}{\sin (9 x)} \cos (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 3.2.9.2.2.2

اجمع $\frac{9}{\sin (9 x)}$ و $\cos (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 3.2.9.2.3

اجمع $\frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ و $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x) \ln (x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 3.2.9.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.3.1

افصِل الكسور.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 3.2.9.3.2

حوّل من $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ إلى $\cot (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 3.2.9.3.3

اقسِم $9 \ln (x)$ على $1$ .

$\frac{y'}{y} = 9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط $9 \ln (x)$ بنقل $9$ داخل اللوغاريتم.

$y' = (\ln (x^{9}) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $\cot (9 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = (\ln (x^{9}) \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.1.3

اجمع $\ln (x^{9})$ و $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} {\sin (9 x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ و ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.4

اجمع $\frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$ و ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5

احذِف العامل المشترك لـ ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ و $\sin (9 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $\sin (9 x)$ من $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اضرب في $1$ .

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.5.2.4

اقسِم $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ على $1$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.6

لكتابة $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x^{9}) \cos (9 x) + {\sin (9 x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (9 x))}{x}$