حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.1.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.1.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.3.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.3.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $- \sin (x) + \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $- \sin (x) + \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.4.2.2

افصِل الكسور.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.4.2.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.4.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.4.2.6

افصِل الكسور.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 2.4.2.7

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 2.4.2.8

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 2.4.2.9

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

خطوة 2.4.2.10

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 1$

خطوة 2.4.2.11

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.11.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.2.11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.11.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.2.11.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.2.11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.11.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

خطوة 2.4.2.12

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 2.4.2.13

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.13.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 2.4.2.14

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 2.4.2.15

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.15.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 2.4.2.15.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.15.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 2.4.2.15.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 2.4.2.15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.15.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 2.4.2.15.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 2.4.2.16

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.16.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.4.2.16.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 2.4.2.16.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 2.4.2.16.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.4.2.17

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.6

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.7

تحقق من صحة كل حل من الحلول بالتعويض بها في $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ وإيجاد الحل.

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = e^{x} \cos (x)$ عند $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 3.2.2

اجمع $e^{\frac{π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = e^{x} \cos (x)$ عند $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

خطوة 4.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.2.3

اجمع $e^{\frac{5 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = e^{x} \cos (x)$ عند $x = \frac{9 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 5.2.3

اجمع $e^{\frac{9 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 6

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = e^{x} \cos (x)$ عند $x = 10.21017612$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $10.21017612$ في العبارة.

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ .

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

خطوة 7

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = e^{x} \cos (x)$ عند $x = 13.35176877$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $13.35176877$ في العبارة.

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

خطوة 8

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = e^{x} \cos (x)$ هي $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

خطوة 9