حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة ${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ بالصيغة $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

خطوة 2

وسّع $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.2

اضرب $y^{2}$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

انقُل $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.4

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

انقُل $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.4.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.5

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

انقُل $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.5.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

خطوة 3.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

خطوة 3.1.7

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1

انقُل $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

خطوة 3.1.7.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

خطوة 3.1.8

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

خطوة 3.2

أضف $4 x y^{3}$ و $4 y^{3} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

خطوة 3.2.2

أضف $4 x y^{3}$ و $4 x y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

خطوة 6

بما أن $y^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

خطوة 8

انقُل $2$ إلى يسار $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

خطوة 9

بما أن $8 y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

خطوة 11

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

خطوة 12

بما أن $16 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

خطوة 13

أضف $2 y^{4} x + 8 y^{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

خطوة 14.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

خطوة 14.2.2

اجمع $y^{4}$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

خطوة 14.2.3

اجمع $\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ و $x$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

خطوة 14.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $y^{4}$ .

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

خطوة 14.2.5

اجمع $8$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

خطوة 14.2.6

اجمع $\frac{8}{5}$ و $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$