حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} {(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ بنقل $\frac{1}{x}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\ln (e^{x} + x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

خطوة 3.1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

خطوة 3.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{x} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $e^{x} + 1$ في $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1}$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

خطوة 4.1.2.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$e^{\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

خطوة 4.1.2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

خطوة 4.1.2.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} x}}$

خطوة 4.1.3.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}}$

خطوة 4.1.3.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$e^{\frac{\infty}{\infty + \infty}}$

خطوة 4.1.3.4

ما لا نهاية زائد ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 4.1.3.5

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

خطوة 4.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

خطوة 4.3.5

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

خطوة 4.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 4.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 4.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}}$

خطوة 5.1.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}}$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

خطوة 5.1.3.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

خطوة 5.1.3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{\infty + 1}}$

خطوة 5.1.3.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 5.1.3.5

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}}$

خطوة 5.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

خطوة 5.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

خطوة 5.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}}$

خطوة 5.3.6

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}}$

خطوة 5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}}$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{1}$

خطوة 7

بسّط.

$e$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e$

الصيغة العشرية:

$2.71828182 \dots$