حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2} - a^{2}}{x - a}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - a^{2}$ و $g (x) = x - a$ .

$\frac{(x - a) \frac{d}{d x} [x^{2} - a^{2}] - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - a^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- a^{2}]$ .

$\frac{(x - a) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- a^{2}]) - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - a) (2 x + \frac{d}{d x} [- a^{2}]) - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- a^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x + 0) - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x) - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - a$ .

$\frac{2 \cdot (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - a$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- a$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) (1 + 0)}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) \cdot 1}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 (- a)) x - (x^{2} - a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 (- a) x - (x^{2} - a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 (- a) x - x^{2} - - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 (- a) x - x^{2} - - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- a) x - x^{2} - - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - x^{2} - - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $- - a^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - x^{2} + 1 a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3.2

اضرب $a^{2}$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - x^{2} + a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 a x + a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{a^{2} + x^{2} - 2 a x}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.6

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{a^{2} - 2 a x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 a x = 2 \cdot a \cdot x$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.6.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = a$ و $b = x$ .

$\frac{{(a - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.7

احذِف العامل المشترك لـ ${(a - x)}^{2}$ و ${(- a + x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $a$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.7.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - (x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- a) - (x)$ .

$\frac{{(- 1 (- a + x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.7.4

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (- a + x)$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.7.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.7.6

اضرب ${(- a + x)}^{2}$ في $1$ .

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.7.7

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

خطوة 3.7.8

أعِد كتابة العبارة.

$1$