حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 2.1.2

عند اقتراب $x$ من $\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 2.1.3

بما أن الأُس $\frac{x}{2}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{\frac{x}{2}}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.9.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

خطوة 2.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

خطوة 2.3.10.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

خطوة 2.3.10.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

خطوة 2.3.11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 2.3.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

خطوة 2.3.14

اضرب $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 2.6

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ في $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 2.8

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 2.9

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}} \sqrt{x}}$

خطوة 2.9.2

انقُل $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

خطوة 2.9.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

خطوة 2.9.4

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

خطوة 2.9.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.9.6

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 2.9.7

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.9.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.9.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.9.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.9.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{1}}$

خطوة 2.9.7.5

بسّط.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$

خطوة 2.10

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 3

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 3.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (e^{\frac{x}{2}})}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 3.4

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ يقترب من $0$ .

$0$