حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2}{x^{3} + 1} d x$

خطوة 1

اقسِم $3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2$ على $x^{3} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{5}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{5} + 0 + 0 + 3 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

خطوة 1.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											-	$2 x^{3}$	+	$0$	+	$0$	-	$2$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{3} + 0 + 0 - 2$

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$
													+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 3 x^{2} - 2 + \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 3 x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

خطوة 8

أعِد كتابة $x^{3}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{1} = x^{3}$ . إذن $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{1} = x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 9.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2}$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 10.2

اضرب $\frac{1}{u_{1} + 1}$ في $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

خطوة 10.3

انقُل $3$ إلى يسار $u_{1} + 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 13

لنفترض أن $u_{2} = u_{1} + 1$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u_{2} = u_{1} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

خطوة 13.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{1} + 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 13.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 13.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 13.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 14

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 15

بسّط.

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $u_{1} + 1$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$