حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 9}}{4 x}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل الحد $\frac{1}{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 9}}{x}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 (x) + 9}}{x}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}{x}$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 (x + 3)}}{x}$

خطوة 2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

خطوة 3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

خطوة 3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 3.5

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 3.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 3.7

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 7.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 8

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 9.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 10

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 11

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 12

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 13

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 13.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{1}}}{1}$

خطوة 13.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اقسِم $0 + 3 \cdot 0$ على $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)}}{1}$

خطوة 13.3.2

اقسِم $\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)}$ على $1$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

خطوة 13.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.3.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

خطوة 13.3.3.2

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0 + 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

خطوة 13.3.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

خطوة 13.3.3.4

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0^{2}} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

خطوة 13.3.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

خطوة 13.3.3.6

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 (0 + 0)})$

خطوة 13.3.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 \cdot 0})$

خطوة 13.3.3.8

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{0})$

خطوة 13.3.3.9

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{0^{2}})$

خطوة 13.3.3.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{1}{4} (0 - 0)$

خطوة 13.3.3.11

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

خطوة 13.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

خطوة 13.3.5

اضرب $\frac{1}{4}$ في $0$ .

$0$