حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 7.3

انقُل ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 7.4

اجمع $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ و $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 11.2

اضرب $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 13

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 14

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 16.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 17

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 18

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 19

اجمع ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 20

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21

لكتابة $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 22

لكتابة $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 23

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

اضرب $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 23.2

اضرب $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 23.3

أعِد ترتيب عوامل $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 25

اضرب $x^{\frac{1}{3}}$ في $x^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

انقُل $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 25.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 25.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 25.4

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 25.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{2 x^{1} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 26

بسّط $2 x^{1}$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 27

اضرب ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ في ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 27.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 27.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 27.4

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{1}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 28

بسّط ${(x + 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 29

أضف $2 x$ و $x$ .

$\frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 30

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 31

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 32

أخرِج العامل $3$ من $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 33

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 33.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 33.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 33.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$