حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{5} 6 \sqrt{x + 4} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{0}^{5} \sqrt{x + 4} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x + 4$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $4$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x + 4$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

خطوة 2.5

أضف $5$ و $4$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

خطوة 5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $u^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $9$ وفي $4$ .

$6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.5

اضرب $2$ في $27$ .

$6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.6.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 6.2.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

خطوة 6.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

خطوة 6.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3})$

خطوة 6.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3})$

خطوة 6.2.11

اضرب $2$ في $8$ .

$6 (18 - \frac{16}{3})$

خطوة 6.2.12

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 6.2.13

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 6.2.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

خطوة 6.2.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.15.1

اضرب $18$ في $3$ .

$6 \frac{54 - 16}{3}$

خطوة 6.2.15.2

اطرح $16$ من $54$ .

$6 (\frac{38}{3})$

خطوة 6.2.16

اجمع $6$ و $\frac{38}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 38}{3}$

خطوة 6.2.17

اضرب $6$ في $38$ .

$\frac{228}{3}$

خطوة 6.2.18

احذِف العامل المشترك لـ $228$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.18.1

أخرِج العامل $3$ من $228$ .

$\frac{3 \cdot 76}{3}$

خطوة 6.2.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.18.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 76}{3 (1)}$

خطوة 6.2.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1}$

خطوة 6.2.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{76}{1}$

خطوة 6.2.18.2.4

اقسِم $76$ على $1$ .

$76$

خطوة 7