حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$4 x - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 x - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$4 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.6

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$4 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.10

اطرح $4$ من $1$ .

$4 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.11

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.12

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $0$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.13

أضف $2 x^{- 3}$ و $0$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

خطوة 4.4

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

خطوة 4.4.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

خطوة 4.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

خطوة 4.6

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

خطوة 4.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x + 2 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

خطوة 4.6.3

اطرح $6$ من $2$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + \frac{2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 5.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 x + \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 x + \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$