حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

خطوة 1

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد ترتيب $x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

خطوة 1.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

خطوة 1.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

خطوة 1.5.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

خطوة 1.5.2.1.4

اضرب $- - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

خطوة 1.5.2.1.4.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

خطوة 1.5.2.2

أضف $0$ و $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

خطوة 1.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{1}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

خطوة 2.1.4

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

خطوة 2.3

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

خطوة 2.5.3

اطرح $1$ من $2$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

خطوة 3

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

خطوة 4

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5

أعِد ترتيب $- {u_{1}}^{2}$ و ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 6

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{1}{2}$ و $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

خطوة 7

لكتابة $u_{1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

خطوة 8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $u_{1}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

خطوة 8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

خطوة 9

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

خطوة 10

لكتابة $- u_{1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

خطوة 11

اجمع $- u_{1}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

خطوة 12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

خطوة 13

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

خطوة 14

اضرب $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ في $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

خطوة 15

اضرب $2$ في $2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

خطوة 16

أعِد كتابة $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

خطوة 16.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

خطوة 16.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

خطوة 17

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

خطوة 17.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

خطوة 18

وسّع $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

خطوة 18.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

خطوة 19

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

خطوة 19.1.2

اضرب $- 2 u_{1}$ في $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

خطوة 19.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

خطوة 19.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

خطوة 19.1.5

اضرب $u_{1}$ في $u_{1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.5.1

انقُل $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

خطوة 19.1.5.2

اضرب $u_{1}$ في $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

خطوة 19.1.6

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

خطوة 19.2

أضف $- 2 u_{1}$ و $2 u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

خطوة 19.3

أضف $1$ و $0$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

خطوة 20

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 21

لنفترض أن $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{\cos (t)}{2}$ موجبة.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

بسّط $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (t)$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

اجمع $\cos (t)$ و $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

خطوة 22.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

خطوة 22.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

خطوة 22.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 23

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

خطوة 24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

خطوة 24.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

خطوة 25

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 26

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 27

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 27.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 28

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

خطوة 29

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

خطوة 30

لنفترض أن $u_{2} = 2 t$ . إذن $d u_{2} = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 30.1

افترض أن $u_{2} = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 30.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 30.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 30.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 30.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 30.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

خطوة 30.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 30.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{2}$ إلى بسط الكسر.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

خطوة 30.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

خطوة 30.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = - π$

خطوة 30.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 30.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 30.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 30.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 30.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

خطوة 30.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 31

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 32

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 33

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

خطوة 34

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1

احسِب قيمة $t$ في $\frac{π}{2}$ وفي $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

خطوة 34.2

احسِب قيمة $\sin (u_{2})$ في $π$ وفي $- π$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

خطوة 34.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

خطوة 34.3.2

أضف $π$ و $π$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

خطوة 34.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

خطوة 34.3.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

خطوة 35

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 35.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 35.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 35.1.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

خطوة 35.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

خطوة 35.1.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

خطوة 35.1.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

خطوة 35.1.1.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

خطوة 35.1.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

خطوة 35.1.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$\frac{1}{8} (π + 0)$

خطوة 35.2

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{1}{8} π$

خطوة 35.3

اجمع $\frac{1}{8}$ و $π$ .

$\frac{π}{8}$

خطوة 36

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{8}$

الصيغة العشرية:

$0.39269908 \dots$

خطوة 37