حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x + y)}^{2} = 2 x + 2 y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + 2 y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(x + y)}^{2}$ بالصيغة $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y) (x + y)]$

خطوة 2.2

وسّع $(x + y) (x + y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x (x + y) + y (x + y)]$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أضف $x y$ و $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

خطوة 2.3.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.7.2

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 y y'$

خطوة 2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x + 2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

خطوة 2.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x + 2 x y' + 2 y + 2 y y'$

خطوة 2.10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 + 2 y'$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y' + 2$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y = 2 y' + 2$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 y'$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y - 2 y' = 2$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - 2 y' = 2 - 2 x$

خطوة 5.2.2

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' + 2 y y' - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 x y' + 2 y y' - 2 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 x y'$ .

$2 y' x + 2 y y' - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' y - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 2 y'$ .

$2 y' x + 2 y' y + 2 y' \cdot - 1 = 2 - 2 x - 2 y$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' x + 2 y' y$ .

$2 y' (x + y) + 2 y' \cdot - 1 = 2 - 2 x - 2 y$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' (x + y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$ على $2 (x + y - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$ على $2 (x + y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x + y - 1)}{2 (x + y - 1)} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (x + y - 1)}{2 (x + y - 1)} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{- x}{x + y - 1} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x + y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{- y}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} - \frac{y}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - x}{x + y - 1} - \frac{y}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - x - y}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $1 - x - y$ و $x + y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1) - x - y}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1) - (x) - y}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- 1) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x) - y}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x) - (y)}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- 1 + x) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x + y)}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$y' = \frac{- 1 (x + y - 1)}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3.7

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 1 (x + y - 1)}{x + y - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3.8

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y' = - 1$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1$