حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{5}$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + a$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $1 + a$ وفي $1$ .

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

خطوة 4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

خطوة 5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

خطوة 5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{0 + a}{1 + a}$

خطوة 5.4.2

أضف $0$ و $a$ .

$\frac{a}{1 + a}$