حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$a^{4} - t^{4} = 6 a^{2} t$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (a^{4} - t^{4}) = \frac{d}{d t} (6 a^{2} t)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a^{4} - t^{4}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [a^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{4}]$ .

$\frac{d}{d t} [a^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{4}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [a^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{4}$ و $g (t) = a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $a$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [- t^{4}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [- t^{4}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $a$ .

$4 a^{3} \frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [- t^{4}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [a]$ بالصيغة $a'$ .

$4 a^{3} a' + \frac{d}{d t} [- t^{4}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- t^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$4 a^{3} a' - \frac{d}{d t} [t^{4}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 a^{3} a' - (4 t^{3})$

خطوة 2.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 a^{3} a' - 4 t^{3}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 t^{3} + 4 a^{3} a'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $6 a^{2} t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $6 \frac{d}{d t} [a^{2} t]$ .

$6 \frac{d}{d t} [a^{2} t]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = a^{2}$ و $g (t) = t$ .

$6 (a^{2} \frac{d}{d t} [t] + t \frac{d}{d t} [a^{2}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (a^{2} \cdot 1 + t \frac{d}{d t} [a^{2}])$

خطوة 3.3.2

اضرب $a^{2}$ في $1$ .

$6 (a^{2} + t \frac{d}{d t} [a^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $a$ .

$6 (a^{2} + t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [a]))$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (a^{2} + t (2 u \frac{d}{d t} [a]))$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $a$ .

$6 (a^{2} + t (2 a \frac{d}{d t} [a]))$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $t$ .

$6 (a^{2} + 2 \cdot t a \frac{d}{d t} [a])$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [a]$ بالصيغة $a'$ .

$6 (a^{2} + 2 t a a')$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 a^{2} + 6 (2 t a a')$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $6$ .

$6 a^{2} + 12 t a a'$

خطوة 3.7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$6 a^{2} + 12 a t a'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 4 t^{3} + 4 a^{3} a' = 6 a^{2} + 12 a t a'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $a'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $12 a t a'$ من كلا المتعادلين.

$- 4 t^{3} + 4 a^{3} a' - 12 a t a' = 6 a^{2}$

خطوة 5.2

أضف $4 t^{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$4 a^{3} a' - 12 a t a' = 6 a^{2} + 4 t^{3}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $4 a a'$ من $4 a^{3} a' - 12 a t a'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $4 a a'$ من $4 a^{3} a'$ .

$4 a a' a^{2} - 12 a t a' = 6 a^{2} + 4 t^{3}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $4 a a'$ من $- 12 a t a'$ .

$4 a a' a^{2} + 4 a a' (- 3 t) = 6 a^{2} + 4 t^{3}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $4 a a'$ من $4 a a' a^{2} + 4 a a' (- 3 t)$ .

$4 a a' (a^{2} - 3 t) = 6 a^{2} + 4 t^{3}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $4 a a' (a^{2} - 3 t) = 6 a^{2} + 4 t^{3}$ على $4 a (a^{2} - 3 t)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $4 a a' (a^{2} - 3 t) = 6 a^{2} + 4 t^{3}$ على $4 a (a^{2} - 3 t)$ .

$\frac{4 a a' (a^{2} - 3 t)}{4 a (a^{2} - 3 t)} = \frac{6 a^{2}}{4 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 a a' (a^{2} - 3 t)}{4 a (a^{2} - 3 t)} = \frac{6 a^{2}}{4 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{a a' (a^{2} - 3 t)}{a (a^{2} - 3 t)} = \frac{6 a^{2}}{4 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{a a' (a^{2} - 3 t)}{a (a^{2} - 3 t)} = \frac{6 a^{2}}{4 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{a' (a^{2} - 3 t)}{a^{2} - 3 t} = \frac{6 a^{2}}{4 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $a^{2} - 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{a' (a^{2} - 3 t)}{a^{2} - 3 t} = \frac{6 a^{2}}{4 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.2.3.2

اقسِم $a'$ على $1$ .

$a' = \frac{6 a^{2}}{4 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 a^{2}$ .

$a' = \frac{2 (3 a^{2})}{4 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 a (a^{2} - 3 t)$ .

$a' = \frac{2 (3 a^{2})}{2 (2 a (a^{2} - 3 t))} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$a' = \frac{2 (3 a^{2})}{2 (2 a (a^{2} - 3 t))} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$a' = \frac{3 a^{2}}{2 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $a^{2}$ و $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $a$ من $3 a^{2}$ .

$a' = \frac{a (3 a)}{2 a (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $a$ من $2 a (a^{2} - 3 t)$ .

$a' = \frac{a (3 a)}{a (2 (a^{2} - 3 t))} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$a' = \frac{a (3 a)}{a (2 (a^{2} - 3 t))} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$a' = \frac{3 a}{2 (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$a' = \frac{3 a}{2 (a^{2} - 3 t)} + \frac{4 t^{3}}{4 a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 5.4.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$a' = \frac{3 a}{2 (a^{2} - 3 t)} + \frac{t^{3}}{a (a^{2} - 3 t)}$

خطوة 6

استبدِل $a'$ بـ $\frac{d a}{d t}$ .

$\frac{d a}{d t} = \frac{3 a}{2 (a^{2} - 3 t)} + \frac{t^{3}}{a (a^{2} - 3 t)}$