حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 i$ .

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 i$ .

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.4

اضرب $3$ في $3^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

انقُل $3^{2}$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $3^{2}$ في $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.5

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.6

اضرب $- 2$ في $27$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.7

اضرب $3$ في $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.8

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.9

اضرب $4$ في $9$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

خطوة 1.2.10

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

خطوة 3

احسِب قيمة $27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $3$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $7$ و $1$ .

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

خطوة 3.3.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

خطوة 3.3.1.3

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $49$ في $64$ .

$27 (\frac{3136}{4})$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $3136$ على $4$ .

$27 \cdot 784$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $27$ في $784$ .

$21168$

خطوة 4

احسِب قيمة $54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $7$ و $1$ .

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

اضرب $7$ في $8$ .

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.2.2

اضرب $2$ في $7$ .

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

خطوة 4.3.1.3

أضف $14$ و $1$ .

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

خطوة 4.3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $56$ في $15$ .

$- 54 (\frac{840}{6})$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $- 54$ .

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

خطوة 4.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

خطوة 4.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 9 \cdot 840$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 9$ في $840$ .

$- 7560$

خطوة 5

احسِب قيمة $36 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أضف $7$ و $1$ .

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

خطوة 5.3.1.2

اضرب $7$ في $8$ .

$36 (\frac{56}{2})$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$2 (18) \frac{56}{2}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

خطوة 5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$18 \cdot 56$

خطوة 5.3.3

اضرب $18$ في $56$ .

$1008$

خطوة 6

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{7} - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(- 8) (7)$

خطوة 6.3

اضرب $- 8$ في $7$ .

$- 56$

خطوة 7

أضف نتائج المجاميع.

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اطرح $7560$ من $21168$ .

$13608 + 1008 - 56$

خطوة 8.2

أضف $13608$ و $1008$ .

$14616 - 56$

خطوة 8.3

اطرح $56$ من $14616$ .

$14560$