حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

خطوة 1

أعِد كتابة $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ باستخدام قاعدة تغيير الأساس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يمكن استخدام قاعدة تغيير الأساس إذا كان كل من $a$ و $b$ أكبر من 0 ولا يساويان 1، وكان $x$ أكبر من 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

خطوة 1.2

عوّض بقيم المتغيرات في قاعدة تغيير الأساس باستخدام $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{\ln (a)}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ .

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x^{3} + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ في $\frac{1}{\ln (a)}$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 4.5

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 4.6

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أضف $6 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

خطوة 4.7.2

اجمع $6$ و $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ .

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

خطوة 4.7.3

اجمع $\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ و $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $\ln (a)$ من $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $\ln (a)$ من $2 x^{3} \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $\ln (a)$ من $7 \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $\ln (a)$ من $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$