حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{5 x^{3} + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x^{3} + 3 x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x^{3}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x^{1}}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (5 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.6

أخرِج العامل $x$ من $x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{5 x^{2} + 3 x + 1}{x} d x$

خطوة 2

اقسِم $5 x^{2} + 3 x + 1$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{2}$

$3 x$

$1$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $5 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$5 x$
	$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$5 x^{2}$	+	$0$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $5 x^{2} + 0$

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$

خطوة 2.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

خطوة 2.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

خطوة 2.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					+	$3 x$	+	$0$

خطوة 2.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x + 0$

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$

خطوة 2.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$
							+	$1$

خطوة 2.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 5 x + 3 + \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 5 x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \ln (| x |) + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{5}{2} x^{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$