حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

خطوة 2.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

خطوة 2.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

خطوة 2.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

خطوة 2.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

خطوة 2.2.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

خطوة 2.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

خطوة 2.2.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

خطوة 2.2.10

اجمع $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ و $y'$ .

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

خطوة 2.2.11

انقُل $y^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.12

اجمع $3$ و $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.13

ألغِ العامل المشترك.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2.14

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $y^{\frac{2}{3}}$ بالصيغة ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

خطوة 5.7

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ و $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

خطوة 5.7.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

خطوة 5.8

اقسِم كل حد في $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ على $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اقسِم كل حد في $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ على $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ .

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

خطوة 5.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

خطوة 5.8.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

خطوة 5.8.2.4

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

خطوة 5.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

خطوة 5.8.3.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

خطوة 5.8.3.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

خطوة 5.8.3.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

خطوة 5.8.3.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 5.8.3.2

اضرب $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 5.8.3.3

اضرب $y^{\frac{1}{3}}$ في $y^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

خطوة 5.8.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

خطوة 5.8.3.3.3

أضف $1$ و $1$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

خطوة 5.8.3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$