حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{2 x} + 2 \sqrt{x}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{2 x} + 2 \sqrt{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x}$ في صورة ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.4

بما أن $2^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.12

اجمع $2^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.13

انقُل $2^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.14

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.15

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.15.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.15.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.15.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 2.15.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 3.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 3.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 3.10

اجمع $2$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 3.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.12

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.13

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$