حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)}$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وسّع $(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot 1$ و $- 1 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + 1 x - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.2.2

اطرح $1 x$ من $1 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) + 0 - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3

أضف $x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2})$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x^{1}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{2 + 1} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.3

اضرب $x$ في $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1}$

خطوة 1.4

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} - x^{2} - 1}$

خطوة 2

اقسِم البسط والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 3.3

انقُل الأُس $3$ من ${(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{{(0 + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $- 2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 5.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{3}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{{(0 - 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

خطوة 8.1.2

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

خطوة 8.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{- 8}{2 - 0 - 0}$

خطوة 8.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0 - 0}$

خطوة 8.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0 + 0}$

خطوة 8.2.3

أضف $2 + 0$ و $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0}$

خطوة 8.2.4

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{- 8}{2}$

خطوة 8.3

اقسِم $- 8$ على $2$ .

$- 4$