حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{v}$ في صورة $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v}]$

خطوة 2

اضرب $v$ في $v^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v}]$

خطوة 2.2

اضرب $v^{\frac{1}{2}}$ في $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ارفع $v$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v}]$

خطوة 2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v}]$

خطوة 2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v}]$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v}]$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

خطوة 3

أخرِج العامل $v^{\frac{3}{2}}$ من $v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $v^{\frac{3}{2}}$ من $v^{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $v^{\frac{3}{2}}$ من $- 2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{v}]$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $v^{\frac{3}{2}}$ من $v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)}{v}]$

خطوة 4

انقُل $v^{1}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2) v^{- 1}]$

خطوة 5

اضرب $v^{\frac{3}{2}}$ في $v^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $v^{- 1}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{- 1} v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

خطوة 5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

خطوة 5.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

خطوة 5.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

خطوة 5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

خطوة 5.6.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ هو $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ حيث $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ و $g (v) = v^{\frac{3}{2}} - 2$ .

$v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} - 2] + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $v^{\frac{3}{2}} - 2$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 11.2

اطرح $2$ من $3$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 12

اجمع $\frac{3}{2}$ و $v^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 13

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + 0) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ و $0$ .

$v^{\frac{1}{2}} \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 14.2

اجمع $v^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (3 v^{\frac{1}{2}})}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 15

اضرب $v^{\frac{1}{2}}$ في $v^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

انقُل $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 15.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{v^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 15.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{v^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 15.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{v^{\frac{2}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 15.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{v^{1} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 16

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط $v^{1} \cdot 3$ .

$\frac{v \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 16.2

انقُل $3$ إلى يسار $v$ .

$\frac{3 \cdot v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 18

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 19

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 21

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 21.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 22

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 23

اجمع $\frac{1}{2}$ و $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 24

انقُل $v^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 25

لكتابة $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 26

اجمع $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + \frac{(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

خطوة 27

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

خطوة 28

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 29

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 30

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 v + v^{\frac{3}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.2.1.1.1

أخرِج العامل $v^{\frac{1}{2}}$ من $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 v + v^{\frac{2}{2}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.2.1.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{3 v + v^{1} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.2.1.3

بسّط.

$\frac{3 v + v - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.2.1.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 v + v + \frac{- 2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3 v + v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.2.2

أضف $3 v$ و $v$ .

$\frac{4 v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 v$ .

$\frac{2 (2 v) - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 31.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

خطوة 31.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

خطوة 31.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)}$

خطوة 31.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1}$

خطوة 31.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{1}$

خطوة 31.3.4.4

اقسِم $2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ على $1$ .

$2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$