حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

خطوة 1

افترض أن $y = f (θ)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 2

أعِد كتابة $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ بالصيغة $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \ln (θ)$ و $g (θ) = \sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.3.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\sec (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة $\sec (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.3.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.3.5

اضرب $\cos (θ)$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

خطوة 3.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \ln (θ)$ و $g (θ) = \tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

خطوة 3.2.4.1.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

خطوة 3.2.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

خطوة 3.2.4.2

مشتق $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

خطوة 3.2.4.3

أعِد كتابة $\tan (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

خطوة 3.2.4.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

خطوة 3.2.4.5

حوّل من $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ إلى $\cot (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

خطوة 3.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1.1

أعِد ترتيب $\cos (θ)$ و $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2.1.2

أعِد كتابة $\cos (θ) \sec (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2.2

اضرب $\tan (θ)$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2.3

أعِد كتابة $\tan (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2.4

أعِد كتابة $\sec (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

خطوة 3.2.5.2.7

أعِد كتابة $\cot (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

خطوة 3.2.5.2.8

اجمع.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

خطوة 3.2.5.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $\cos (θ)$ و $\cos^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.9.1

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $1 \cos (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

خطوة 3.2.5.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.9.2.1

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

خطوة 3.2.5.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

خطوة 3.2.5.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

خطوة 3.2.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.3.1

حوّل من $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ إلى $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

خطوة 3.2.5.3.2

افصِل الكسور.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

خطوة 3.2.5.3.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (θ)}$ إلى $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

خطوة 3.2.5.3.4

حوّل من $\frac{1}{\sin (θ)}$ إلى $\csc (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 5.2

اضرب $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 5.2.2

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 5.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 5.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 5.3

اضرب $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

خطوة 5.3.2

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

خطوة 5.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

خطوة 5.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$