حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = \sec (θ)$ و $g (y) = \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \frac{d}{d y} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \tan (y)$ و $g (y) = θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $θ$ .

$\sec (θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $θ$ .

$\sec (θ) (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

خطوة 3.3

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\sec (θ)}^{2 + 1} \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

خطوة 3.5

أضف $2$ و $1$ .

$\sec^{3} (θ) \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [θ]$ بالصيغة $θ'$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sec (y)$ و $g (y) = θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $θ$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d y} [θ])$

خطوة 3.7.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d y} [θ])$

خطوة 3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $θ$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

خطوة 3.8

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{1} (θ) \tan (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

خطوة 3.9

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

خطوة 3.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec^{3} (θ) θ' + {\tan (θ)}^{1 + 1} (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

خطوة 3.11

أضف $1$ و $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

خطوة 3.12

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [θ]$ بالصيغة $θ'$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = \sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $θ'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ' = 1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ' = 1$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$ .

$θ' \sec^{3} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ) = 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $θ' \sec (θ)$ من $θ' \sec^{3} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $θ' \sec (θ)$ من $θ' \sec^{3} (θ)$ .

$θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ) = 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $θ' \sec (θ)$ من $θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ)$ .

$θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \sec (θ) \tan^{2} (θ) = 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $θ' \sec (θ)$ من $θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \sec (θ) \tan^{2} (θ)$ .

$θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$ على $\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$ على $\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))$ .

$\frac{θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{θ' (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{θ' (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $θ'$ على $1$ .

$θ' = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

افصِل الكسور.

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

خطوة 5.4.3.2

أعِد كتابة $\sec (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

خطوة 5.4.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} (1 \cos (θ))$

خطوة 5.4.3.4

اضرب $\cos (θ)$ في $1$ .

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cos (θ)$

خطوة 5.4.3.5

اجمع $\frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$ و $\cos (θ)$ .

$θ' = \frac{\cos (θ)}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$

خطوة 6

استبدِل $θ'$ بـ $\frac{d θ}{d y}$ .

$\frac{d θ}{d y} = \frac{\cos (θ)}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$