حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2 \frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1} d t$

خطوة 1

اجمع $2$ و $\frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{2 (t^{2} - 1)}{t^{4} - 1} d t$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1} d t$

خطوة 3

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{t^{4} - 1}$

خطوة 3.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = t$ و $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{t^{4} - 1}$

خطوة 3.1.1.3

أعِد كتابة $t^{4}$ بالصيغة ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{{(t^{2})}^{2} - 1}$

خطوة 3.1.1.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{{(t^{2})}^{2} - 1^{2}}$

خطوة 3.1.1.5

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = t^{2}$ و $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t^{2} - 1)}$

خطوة 3.1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t^{2} - 1^{2})}$

خطوة 3.1.1.6.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.6.2.1

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) ((t + 1) (t - 1))}$

خطوة 3.1.1.6.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$

خطوة 3.1.1.7

اختزِل العبارة $\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$

خطوة 3.1.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t - 1}{(t^{2} + 1) (t - 1)}$

خطوة 3.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A t + B}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $C$ .

$\frac{A t + B}{t^{2} + 1} + \frac{C}{t - 1}$

خطوة 3.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(t^{2} + 1) (t - 1)$ .

$\frac{(t - 1) (t^{2} + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t - 1)} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $t - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(t - 1) (t^{2} + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t - 1)} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.6.2

اقسِم $t - 1$ على $1$ .

$t - 1 = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$t - 1 = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.1.2

اقسِم $(A t + B) (t - 1)$ على $1$ .

$t - 1 = (A t + B) (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.2

وسّع $(A t + B) (t - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$t - 1 = A t (t - 1) + B (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$t - 1 = A t \cdot t + A t \cdot - 1 + B (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$t - 1 = A t \cdot t + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.3.1

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.3.1.1

انقُل $t$ .

$t - 1 = A (t \cdot t) + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.3.1.2

اضرب $t$ في $t$ .

$t - 1 = A t^{2} + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $A t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 \cdot (A t) + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.3.3

أعِد كتابة $- 1 (A t)$ بالصيغة $- (A t)$ .

$t - 1 = A t^{2} - (A t) + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.3.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $B$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - 1 \cdot B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.3.5

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $t - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

خطوة 3.1.7.4.2

اقسِم $(C) (t^{2} + 1)$ على $1$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + (C) (t^{2} + 1)$

خطوة 3.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + C t^{2} + C \cdot 1$

خطوة 3.1.7.6

اضرب $C$ في $1$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + C t^{2} + C$

خطوة 3.1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.8.1

انقُل $A$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t - B + C t^{2} + C$

خطوة 3.1.8.2

أعِد ترتيب $B$ و $t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t - B + C t^{2} + C$

خطوة 3.1.8.3

انقُل $- B$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t + C t^{2} - B + C$

خطوة 3.1.8.4

انقُل $B t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + C t^{2} + B t - B + C$

خطوة 3.1.8.5

انقُل $- 1 t A$ .

$t - 1 = A t^{2} + C t^{2} - 1 t A + B t - B + C$

خطوة 3.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $t^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + C$

خطوة 3.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $t$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 1 A + B$

خطوة 3.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $t$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

$0 = A + C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.1.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$A = - C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- C$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 1 A + B$ بـ $- C$ .

$1 = - 1 (- C) + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اضرب $- 1 (- C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 = 1 C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.2.2.1.2

اضرب $C$ في $1$ .

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.3

أوجِد قيمة $C$ في $1 = C + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C + B = 1$ .

$C + B = 1$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.3.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$C = 1 - B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$C = 1 - B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $1 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $A = - C$ بـ $1 - B$ .

$A = - (1 - B)$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1

بسّط $- (1 - B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$A = - 1 \cdot 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.4.2.1.3

اضرب $- - B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A = - 1 + 1 B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.4.2.1.3.2

اضرب $B$ في $1$ .

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

خطوة 3.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $- 1 = - 1 B + C$ بـ $1 - B$ .

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.4.4

بسّط $- 1 = - 1 B + 1 - B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.4.1.1

احذِف الأقواس.

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.4.2.1

بسّط $- 1 B + 1 - B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.4.2.1.1

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$- 1 = - B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.4.4.2.1.2

اطرح $B$ من $- B$ .

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.5

أوجِد قيمة $B$ في $- 1 = - 2 B + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 B + 1 = - 1$ .

$- 2 B + 1 = - 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 B = - 1 - 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.5.2.2

اطرح $1$ من $- 1$ .

$- 2 B = - 2$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 2 B = - 2$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.5.3

اقسِم كل حد في $- 2 B = - 2$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 B = - 2$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.5.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.3.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 2$ .

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - 1 + B$ بـ $1$ .

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.6.2

بسّط $A = - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.1.1

احذِف الأقواس.

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.2.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

خطوة 3.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $C = 1 - B$ بـ $1$ .

$C = 1 - (1)$

$A = 0$

$B = 1$

خطوة 3.3.6.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.4.1

بسّط $1 - (1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.4.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$C = 1 - 1$

$A = 0$

$B = 1$

خطوة 3.3.6.4.1.2

اطرح $1$ من $1$ .

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

خطوة 3.3.7

اسرِد جميع الحلول.

$C = 0, A = 0, B = 1$

خطوة 3.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A t + B}{t^{2} + 1} + \frac{C}{t - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{0 t + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

احذِف الأقواس.

$\frac{(0) \cdot t + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

خطوة 3.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $0$ في $t$ .

$\frac{0 + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

خطوة 3.5.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

خطوة 3.5.3

اقسِم $0$ على $t - 1$ .

$\frac{1}{t^{2} + 1} + 0$

خطوة 3.5.4

احذِف الصفر من العبارة.

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب $t^{2}$ و $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1 + t^{2}} d t$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\arctan (t)]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

$2 (\arctan (t)]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}})$

خطوة 6

احسِب قيمة $\arctan (t)$ في $\frac{1}{\sqrt{3}}$ وفي $0$ .

$2 (\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}}) - \arctan (0))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احسِب قيمة $\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

$2 (\frac{π}{6} - \arctan (0))$

خطوة 7.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - 0)$

خطوة 7.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 (\frac{π}{6} + 0)$

خطوة 7.2

أضف $\frac{π}{6}$ و $0$ .

$2 \frac{π}{6}$

خطوة 7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)}$

خطوة 7.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 7.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{3}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{3}$

الصيغة العشرية:

$1.04719755 \dots$

خطوة 9