حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $2 x^{\frac{1}{2}}$ في $t$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

خطوة 4.2.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 5.2

بما أن الدالة $t^{\frac{1}{2}}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $2$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $2$ المحذوف.

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة $t^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 5.2.3

عند اقتراب $t$ من $\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 5.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$\infty - 1 \cdot 2$

خطوة 5.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\infty - 2$

خطوة 5.3.2.2

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\infty$