حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب الأُسس في ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 3.3

اضرب ${(1 + x^{2})}^{2}$ في $1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

خطوة 6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 11

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 15

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 16

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$- 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 17

اجمع $- 2$ و $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

خطوة 18

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$