حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{12}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \csc (2 x)$ . إذن $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \csc (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

خطوة 1.1.3.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \csc (2 x)$ .

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{12})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 (6)})$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{6})$ هي $2$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \csc (2 x)$ .

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{4})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 (2)})$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 1.5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{2}^{1}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{2} u_{2}$ في $1$ وفي $2$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 2$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2$

خطوة 4.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2} + 1$

خطوة 4.2.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

خطوة 4.2.6

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$