حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 \sqrt[4]{x} + 2 y^{\frac{2}{3}} = 75$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{4}}$ .

$3 x^{\frac{1}{4}} + 2 y^{\frac{2}{3}} = 75$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (3 x^{\frac{1}{4}} + 2 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{d x} (75)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{\frac{1}{4}} + 2 y^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{\frac{1}{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.6.2

اطرح $4$ من $1$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.8

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.9

اجمع $3$ و $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2.10

انقُل $x^{- \frac{3}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} y')$

خطوة 3.3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

خطوة 3.3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

خطوة 3.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

خطوة 3.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}} y')$

خطوة 3.3.7.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}} y')$

خطوة 3.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} y')$

خطوة 3.3.9

اجمع $\frac{2}{3}$ و $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} y')$

خطوة 3.3.10

اجمع $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ و $y'$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 \frac{2 y^{- \frac{1}{3}} y'}{3}$

خطوة 3.3.11

انقُل $y^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.3.12

اجمع $2$ و $\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{2 (2 y')}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.3.13

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 4

بما أن $75$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $75$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح $\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}}) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $\frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 y' = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط $- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب $- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 y' = - 3 \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

اجمع $- 3$ و $\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ .

$4 y' = \frac{- 3 \cdot 3}{4 x^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.3.2.1.1.3

اضرب $- 3$ في $3$ .

$4 y' = \frac{- 9}{4 x^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.3.2.1.1.4

اجمع $\frac{- 9}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ و $y^{\frac{1}{3}}$ .

$4 y' = \frac{- 9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 6.3.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 6.4

اقسِم كل حد في $4 y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اقسِم كل حد في $4 y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ على $4$ .

$\frac{4 y'}{4} = \frac{- \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}}{4}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y'}{4} = \frac{- \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}}{4}$

خطوة 6.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}}{4}$

خطوة 6.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 6.4.3.2

اضرب $- \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ .

$y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 (4 x^{\frac{3}{4}})}$

خطوة 6.4.3.2.2

اضرب $4$ في $4$ .

$y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{16 x^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{16 x^{\frac{3}{4}}}$