حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

خطوة 1

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[1, 2]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{4 x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$4 x = 0$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x = 0$

خطوة 1.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 1.2

$f (x)$ متصلة على $[1, 2]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ قابلة للاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 2.1.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 2.1.1.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 2.1.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 2.1.1.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 2.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

خطوة 2.1.1.3.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

خطوة 2.1.1.3.5

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

خطوة 2.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $[1, 2]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[1, 2]$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{4 x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$4 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اقسِم كل حد في $4 x^{2} = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

اقسِم كل حد في $4 x^{2} = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.2.1.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.2.1.2.1.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.2.1.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.2.1.2.3

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.2.1.2.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.2.1.2.3.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.2.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 2.2.2

$f' (x)$ متصلة على $[1, 2]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 2.3

الدالة قابلة للاشتقاق على $[1, 2]$ لأن المشتق متصل على $[1, 2]$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 3

لضمان الحصول على طول القوس، يجب أن تكون الدالة ومشتقاتها متصلة في الفترة المُغلقة $[1, 2]$ .

تُعد الدالة ومشتقاتها متصلة في الفترة المغلقة $[1, 2]$ .

خطوة 4

أوجِد مشتق $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

خطوة 4.3.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

خطوة 4.3.5

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

خطوة 5

لإيجاد طول قوس الدالة، استخدِم القاعدة $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

خطوة 6

احسِب قيمة التكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 6.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 6.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

خطوة 6.3

اضرب $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $x^{4}$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

انقُل $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.4.1.3

أضف $- 2$ و $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.4.2

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

خطوة 6.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

خطوة 6.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

خطوة 6.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

خطوة 6.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

خطوة 6.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

خطوة 6.10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

خطوة 6.10.2

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 6.10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 6.10.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 6.10.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 6.10.3.4

اطرح $1$ من $8$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 6.10.3.5

اجمع $4$ و $\frac{7}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 6.10.3.6

اضرب $4$ في $7$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 6.10.3.7

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

خطوة 6.10.3.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

خطوة 6.10.3.9

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

خطوة 6.10.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

خطوة 6.10.3.11

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

خطوة 6.10.3.12

لكتابة $\frac{28}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 6.10.3.13

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 6.10.3.14

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.3.14.1

اضرب $\frac{28}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 6.10.3.14.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 6.10.3.14.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

خطوة 6.10.3.14.4

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

خطوة 6.10.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

خطوة 6.10.3.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.3.16.1

اضرب $28$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

خطوة 6.10.3.16.2

أضف $56$ و $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

خطوة 6.10.3.17

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{59}{6}$ .

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

خطوة 6.10.3.18

اضرب $4$ في $6$ .

$\frac{59}{24}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{59}{24}$

الصيغة العشرية:

$2.458\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$2 \frac{11}{24}$

خطوة 8