حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3}{x} - \frac{x}{y} = 2$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3}{x} - \frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.6

اضرب $y$ في $1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.7

اضرب $\frac{x}{y}$ في $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

خطوة 2.3.8

أضف $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ و $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.5.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.5.1.3

لكتابة $- \frac{3}{x^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.5.1.4

لكتابة $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.5.1.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x^{2} y^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.5.1

اضرب $\frac{3}{x^{2}}$ في $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.5.1.5.2

اضرب $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ في $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

خطوة 2.5.1.5.3

أعِد ترتيب عوامل $y^{2} x^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

خطوة 2.5.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 y^{2} - (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y') = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $y'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{2} (- x y') = 0$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x \cdot x^{2}) (- 1 y') = 0$

خطوة 5.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x^{1} x^{2}) (- 1 y') = 0$

خطوة 5.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{1 + 2} (- 1 y') = 0$

خطوة 5.2.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{3} (- 1 y') = 0$

خطوة 5.2.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{3} y' = 0$

خطوة 5.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + 1 x^{3} y' = 0$

خطوة 5.2.1.3.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + x^{3} y' = 0$

خطوة 5.2.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $3 y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$- x^{2} y + x^{3} y' = 3 y^{2}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $x^{2} y$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$

خطوة 5.2.3

اقسِم كل حد في $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ على $x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم كل حد في $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ على $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

خطوة 5.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

خطوة 5.2.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

خطوة 5.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} y$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{3}}$

خطوة 5.2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x}$

خطوة 5.2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{2} x}$

خطوة 5.2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$