حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {\sin (x)}^{x}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (x)}^{x})$

خطوة 2

وسّع $\ln ({\sin (x)}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = x \ln (\sin (x))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $x \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.4

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1$

خطوة 3.2.6.2

اضرب $\ln (\sin (x))$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = x \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = x \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.7.2.2

اضرب $x \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.2.1

اجمع $\frac{1}{\sin (x)}$ و $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{\sin (x)} \cos (x) + \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.7.2.2.2

اجمع $\frac{x}{\sin (x)}$ و $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cos (x)}{\sin (x)} + \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.3.1

افصِل الكسور.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.7.3.2

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} \cot (x) + \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.7.3.3

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{y'}{y} = x \cot (x) + \ln (\sin (x))$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (x \cot (x) + \ln (\sin (x))) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = (x \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \ln (\sin (x))) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.1.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{x \cos (x)}{\sin (x)} + \ln (\sin (x))) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{x \cos (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{x} + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ و ${\sin (x)}^{x}$ .

$y' = \frac{x \cos (x) {\sin (x)}^{x}}{\sin (x)} + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.4

احذِف العامل المشترك لـ ${\sin (x)}^{x}$ و $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $x \cos (x) {\sin (x)}^{x}$ .

$y' = \frac{\sin (x) (x \cos (x) {\sin (x)}^{x - 1})}{\sin (x)} + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اضرب في $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (x \cos (x) {\sin (x)}^{x - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{\sin (x) (x \cos (x) {\sin (x)}^{x - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x \cos (x) {\sin (x)}^{x - 1}}{1} + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.4.2.4

اقسِم $x \cos (x) {\sin (x)}^{x - 1}$ على $1$ .

$y' = x \cos (x) {\sin (x)}^{x - 1} + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{x}$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب العوامل في $x \cos (x) {\sin (x)}^{x - 1} + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{x}$ .

$y' = x {\sin (x)}^{x - 1} \cos (x) + {\sin (x)}^{x} \ln (\sin (x))$