حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 2 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $4 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{2 \cos (t)}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{2^{2} \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{2 (\cos (t))}{4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 (\cos (t))}{2 (2 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 \cos (t)}{2 (2 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.5

اجمع $2$ و $\frac{\cos (t)}{2 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.2.6

اجمع $\frac{2 \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)}$ و $\cos (t)$ .

$\int \frac{2 \cos (t) \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.7

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{2 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{2 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.8

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{2 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{2 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{2 {\cos (t)}^{1 + 1}}{2 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.10

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 \cos^{2} (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.12

حوّل من $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ إلى $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cot^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 6

بما أن مشتق $- \cot (t)$ هو $\csc^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (t)$ هو $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

خطوة 7

بسّط.

$- t - \cot (t) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$