حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

خطوة 1

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[0, 1]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{2 - x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 - x^{2} \geq 0$

خطوة 1.1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $2$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} \geq - 2$

خطوة 1.1.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 2$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

خطوة 1.1.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.1.2.5

اكتب $| x | \leq \sqrt{2}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 1.1.2.5.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.1.2.5.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 1.1.2.5.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.1.2.5.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد التقاطع بين $x \leq \sqrt{2}$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.1.2.7

أوجِد حل $- x \leq \sqrt{2}$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{2}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 1.1.2.7.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 1.1.2.7.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 1.1.2.7.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

خطوة 1.1.2.7.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{2}$ بالصيغة $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

خطوة 1.1.2.7.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq - \sqrt{2}$ و $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد اتحاد الحلول.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

خطوة 1.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

ترميز الفترة:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

خطوة 1.2

$f (x)$ متصلة على $[0, 1]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ قابلة للاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 - x^{2}}$ في صورة ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.7.3

انقُل ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 2.1.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 2.1.1.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 2.1.1.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.1.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.1.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

خطوة 2.1.1.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.13.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

خطوة 2.1.1.13.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 2.1.1.13.3

اجمع $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.13.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 2.1.1.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.2

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $[0, 1]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[0, 1]$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

خطوة 2.2.1.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

خطوة 2.2.1.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{2 - x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 - x^{2} \geq 0$

خطوة 2.2.1.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

اطرح $2$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} \geq - 2$

خطوة 2.2.1.3.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.2.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.2.1.3.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.2.1.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

خطوة 2.2.1.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.4.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.3.5

اكتب $| x | \leq \sqrt{2}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.5.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 2.2.1.3.5.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.3.5.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 2.2.1.3.5.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.3.5.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 2.2.1.3.6

أوجِد التقاطع بين $x \leq \sqrt{2}$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.3.7

أوجِد حل $- x \leq \sqrt{2}$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.7.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.7.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 2.2.1.3.7.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.7.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 2.2.1.3.7.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 2.2.1.3.7.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.7.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.3.7.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{2}$ بالصيغة $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.3.7.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq - \sqrt{2}$ و $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

خطوة 2.2.1.3.8

أوجِد اتحاد الحلول.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.4

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

خطوة 2.2.1.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

خطوة 2.2.1.5.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 - x^{2}}$ في صورة ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 2.2.1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.2.2.1

بسّط ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 2.2.1.5.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

خطوة 2.2.1.5.2.2.1.2

بسّط.

$2 - x^{2} = 0^{2}$

خطوة 2.2.1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 - x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.5.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.3.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 2$

خطوة 2.2.1.5.3.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.3.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.2.1.5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.2.1.5.3.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.2.1.5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.3.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x^{2} = 2$

خطوة 2.2.1.5.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.5.3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.5.3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.5.3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 2.2.1.6

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

ترميز الفترة:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

خطوة 2.2.2

$f' (x)$ متصلة على $[0, 1]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 2.3

الدالة قابلة للاشتقاق على $[0, 1]$ لأن المشتق متصل على $[0, 1]$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 3

لضمان الحصول على طول القوس، يجب أن تكون الدالة ومشتقاتها متصلة في الفترة المُغلقة $[0, 1]$ .

تُعد الدالة ومشتقاتها متصلة في الفترة المغلقة $[0, 1]$ .

خطوة 4

أوجِد مشتق $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 - x^{2}}$ في صورة ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.7.3

انقُل ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 4.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 4.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

خطوة 4.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

خطوة 4.13.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 4.13.3

اجمع $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.13.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

لإيجاد طول قوس الدالة، استخدِم القاعدة $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

خطوة 6