حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x + 1)}^{3} - x^{3}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(x + 1)}^{3} - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.6

اضرب $3$ في $1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - (3 x^{2})$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 x^{2} + 3 {(x + 1)}^{2}$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$- 3 x^{2} + 3 ((x + 1) (x + 1))$

خطوة 4.2.2

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x^{2} + 3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

خطوة 4.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

خطوة 4.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 4.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 4.2.3.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

خطوة 4.2.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1)$

خطوة 4.2.3.2

أضف $x$ و $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 2 x + 1)$

خطوة 4.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

خطوة 4.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

خطوة 4.2.5.2

اضرب $3$ في $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3$

خطوة 4.3

أضف $- 3 x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$0 + 6 x + 3$

خطوة 4.4

أضف $0$ و $6 x$ .

$6 x + 3$