حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (\frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int \frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1}) \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{2 \cos (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = - \cos (u_{1}) d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

خطوة 5.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \int 1 (1 + u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6.2

اضرب $1 + u_{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + u_{2} d u_{2}$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin^{2} (u_{1})) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{1}{2} \sin^{2} (2 x)) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2}) + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

خطوة 12.4

اجمع.

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1 \sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 12.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اضرب $\sin^{2} (2 x)$ في $1$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 12.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{4} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$