حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{3} y^{4} = \sqrt{x - y}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - y}$ في صورة ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{3} y^{4} = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} y^{4}) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3} y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y^{4}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$2 (x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 (x^{3} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.4

انقُل $4$ إلى يسار $x^{3}$ .

$2 (4 \cdot x^{3} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + y^{4} (3 x^{2}))$

خطوة 3.7

انقُل $3$ إلى يسار $y^{4}$ .

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + 3 \cdot y^{4} x^{2})$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (4 x^{3} y^{3} y') + 2 (3 y^{4} x^{2})$

خطوة 3.8.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

اضرب $4$ في $2$ .

$8 (x^{3} y^{3} y') + 2 (3 y^{4} x^{2})$

خطوة 3.8.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - y$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.6.3

انقُل ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 4.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 4.10

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$

خطوة 4.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$ .

$(1 - y') \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.11.2

اضرب $1 - y'$ في $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في $2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}) (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط $(8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}) (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 x^{3} y^{3} y' (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + 6 y^{4} x^{2} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.2.1

اضرب $2$ في $8$ .

$16 x^{3} y^{3} y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 6 y^{4} x^{2} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2.2

اضرب $2$ في $6$ .

$16 x^{3} y^{3} y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2.3

انقُل $y^{3}$ .

$16 x^{3} y' y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2.4

انقُل $x^{3}$ .

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2.5

انقُل $y^{4}$ .

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط $\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 1 - y'$

خطوة 6.2.2.1.4

أعِد ترتيب $1$ و $- y'$ .

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = - y' + 1$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أضف $y'$ إلى كلا المتعادلين.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' = 1$

خطوة 6.3.2

اطرح $12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.2

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot 1 = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot 1$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.4

اقسِم كل حد في $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ على $16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

اقسِم كل حد في $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ على $16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} = \frac{1}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} + \frac{- 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

خطوة 6.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 6.3.4.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} + \frac{- 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

خطوة 6.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$