حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $H (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $h (x)$ .

$H (x) = \int h (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$H (x) = \int \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

خطوة 3

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (1)}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{3 x^{2} + 1}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x^{3} + x + 1$ . إذن $d u = (3 x^{2} + 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{3 x^{2} + 1} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x^{3} + x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 1 + 0$

خطوة 5.1.6

أضف $3 x^{2} + 1$ و $0$ .

$3 x^{2} + 1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 6.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 6.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 6.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 6.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + x + 1$ .

$4 {(x^{3} + x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $h (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}}$ .

$H (x) =$ $4 {(x^{3} + x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$