حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

خطوة 1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

خطوة 2.2

وسّع $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

خطوة 3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

خطوة 4

أعِد كتابة $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ بالصيغة $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.1.3

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.4

اضرب $\frac{x}{x + 1}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.10

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.13

اضرب $\frac{x}{x + 1}$ في $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.14.1

أخرِج العامل $x$ من $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.3.1

اطرح $x$ من $x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.3.2

اطرح $1 \cdot 1$ من $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.5

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.15.5.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.16

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

خطوة 5.3.17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

خطوة 5.3.18

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

خطوة 5.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

خطوة 5.5.2

اضرب $\frac{1}{x (x + 1)}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

خطوة 5.5.3

اجمع $\frac{1}{x (x + 1)}$ و $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

خطوة 5.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

خطوة 5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

خطوة 5.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x + 1}}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

خطوة 6.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

خطوة 6.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

خطوة 7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{0}{0 + 1}}$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف $0$ و $1$ .

$e^{\frac{0}{1}}$

خطوة 8.2

اقسِم $0$ على $1$ .

$e^{0}$

خطوة 9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1$