حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $x^{\sqrt{x}}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln (x^{\sqrt{x}})$ بنقل $\sqrt{x}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

خطوة 2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

خطوة 3

أعِد كتابة $\sqrt{x} \ln (x)$ بالصيغة $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

خطوة 4.1.2

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln (x)$ بلا حدود.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

خطوة 4.1.3

بما أن البسط موجب والقاسم $\sqrt{x}$ يقترب من الصفر وأكبر من الصفر لـ $x$ بالقرب من $0$ على اليمين، تتزايد الدالة بلا حدود.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

خطوة 4.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

خطوة 4.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

خطوة 4.3.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

خطوة 4.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

خطوة 4.3.5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

خطوة 4.3.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

خطوة 4.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

خطوة 4.3.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

خطوة 4.3.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

خطوة 4.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

خطوة 4.3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

خطوة 4.3.10.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

خطوة 4.3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

خطوة 4.3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.12.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

خطوة 4.3.12.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.12.2.1

اضرب $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

خطوة 4.3.12.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

خطوة 4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.5.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.5.3

اجمع $\frac{- 2}{x}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

خطوة 4.6

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

خطوة 4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

خطوة 4.6.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

خطوة 4.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

خطوة 4.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

خطوة 4.6.2.5

اقسِم $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $- 2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.2

انقُل الأُس $\frac{1}{2}$ من $x^{\frac{1}{2}}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 7.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 7.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

خطوة 7.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$e^{- 2 \cdot 0}$

خطوة 7.1.5

اضرب $- 2$ في $0$ .

$e^{0}$

خطوة 7.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1$