حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\cos (x)}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\cos (x)})$

خطوة 2

وسّع $\ln (x^{\cos (x)})$ بنقل $\cos (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (x)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.4

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))$

خطوة 3.2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}) x^{\cos (x)}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{x} x^{\cos (x)}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{\cos (x)}{x}$ و $x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x)}}{x}$

خطوة 5.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{\cos (x)}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $x$ من $\cos (x) x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x^{1}}$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

خطوة 5.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x) - 1}}{1}$

خطوة 5.3.2.5

اقسِم $\cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ على $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ .

$y' = - x^{\cos (x)} \sin (x) \ln (x) + x^{\cos (x) - 1} \cos (x)$