حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 1}$ في صورة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 1$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 8.3

انقُل ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 12.2

اجمع $2$ و $\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{2 e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$ .

$\frac{x e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$