حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x + y} + x y = 21$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + y}$ في صورة ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y = 21$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y) = \frac{d}{d x} (21)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.11

انقُل ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \cdot 1$

خطوة 3.3.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$

خطوة 4

بما أن $21$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $21$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$(1 + y') (\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + x y' + y = 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $1 + y'$ في $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y = 0$

خطوة 6.1.2

لكتابة $x y'$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

خطوة 6.1.3

اجمع $x y'$ و $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

خطوة 6.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + y' + x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

خطوة 6.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

خطوة 6.1.6

لكتابة $y$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 6.1.7

اجمع $y$ و $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 6.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 6.1.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $y'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

خطوة 6.3.1.2

اطرح $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3

اقسِم كل حد في $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ على $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اقسِم كل حد في $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ على $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$