حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - a}$ في صورة ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - a$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - a$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.8.3

انقُل ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - a$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.11

بما أن $- a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- a$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.12.2

اضرب $\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 1.1.14

اضرب ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.15

لكتابة ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.16

اجمع ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18

اضرب ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.18.1

انقُل ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.18.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.19

بسّط ${(x - a)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.20

انقُل $2$ إلى يسار $x - a$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.21.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.21.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.2.2

أضف $x$ و $2 x$ .

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 a$ .

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.5

أخرِج العامل $- 1$ من $3 x$ .

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 a) - (- 3 x)$ .

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.7

أعِد كتابة $- (2 a - 3 x)$ بالصيغة $- 1 (2 a - 3 x)$ .

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.21.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 a - 3 x = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اطرح $2 a$ من كلا المتعادلين.

$- 3 x = - 2 a$

خطوة 2.3.2

اقسِم كل حد في $- 3 x = - 2 a$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 x = - 2 a$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

خطوة 2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{2 a}{3}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $x \sqrt{x - a}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{2 a}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{2 a}{3}$ .

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لكتابة $- a$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 4.1.2.2

اجمع $- a$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

خطوة 4.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

خطوة 4.1.2.4

أعِد كتابة $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

أخرِج العامل $a$ من $2 a - a \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1.1

أخرِج العامل $a$ من $2 a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

خطوة 4.1.2.4.1.2

أخرِج العامل $a$ من $- a \cdot 3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

خطوة 4.1.2.4.1.3

أخرِج العامل $a$ من $a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

خطوة 4.1.2.4.3

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

خطوة 4.1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

خطوة 4.1.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

خطوة 4.1.2.6

اجمع $\frac{2 a}{3}$ و $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

خطوة 5