حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{8 x \cot (2 x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل الحد $\frac{1}{8}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{x \cot (2 x)}$

خطوة 1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

خطوة 1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

خطوة 1.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

خطوة 3

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (2 x)$

خطوة 4

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $x \cot (2 x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ - 0.1 & 0.49331548 \\ - 0.01 & 0.49993333 \\ - 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

خطوة 5

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0.5$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $x \cot (2 x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $0.5$ .

$0.5$

خطوة 6

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (2 x)$

خطوة 7

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $x \cot (2 x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ 0.1 & 0.49331548 \\ 0.01 & 0.49993333 \\ 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

خطوة 8

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0.5$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $x \cot (2 x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين تساوي $0.5$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ألغِ العامل المشترك لـ $0.5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أخرِج العامل $0.5$ من $1$ .

$\frac{0.5 (2)}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

خطوة 9.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{0.5 \cdot 2}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

خطوة 9.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{8} \cos (5 \cdot 0)$

خطوة 9.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{2}{8} \cos (0)$

خطوة 9.3

اجمع $\frac{2}{8}$ و $\cos (0)$ .

$\frac{2 \cos (0)}{8}$

خطوة 9.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cos (0)$ .

$\frac{2 (\cos (0))}{8}$

خطوة 9.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

خطوة 9.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

خطوة 9.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\cos (0)}{4}$

خطوة 9.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.25$