حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{4} \frac{2 + x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{2 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4

وسّع $(2 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

خطوة 4.6.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $2 x^{\frac{1}{2}}$ في $4$ وفي $1$ .

$2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ في $4$ وفي $1$ .

$2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.4

احسِب قيمة الأُس.

$2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 (4 - 2 \cdot 1) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 (4 - 2) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.8

اطرح $2$ من $4$ .

$2 \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.9

اضرب $2$ في $2$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.10

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.11

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.13

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.14

اجمع $\frac{2}{5}$ و $32$ .

$4 + \frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.15

اضرب $2$ في $32$ .

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

خطوة 9.3.16

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

خطوة 9.3.17

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

خطوة 9.3.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 + \frac{64 - 2}{5}$

خطوة 9.3.19

اطرح $2$ من $64$ .

$4 + \frac{62}{5}$

خطوة 9.3.20

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{62}{5}$

خطوة 9.3.21

اجمع $4$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{62}{5}$

خطوة 9.3.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 \cdot 5 + 62}{5}$

خطوة 9.3.23

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.23.1

اضرب $4$ في $5$ .

$\frac{20 + 62}{5}$

خطوة 9.3.23.2

أضف $20$ و $62$ .

$\frac{82}{5}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{82}{5}$

الصيغة العشرية:

$16.4$

صيغة العدد الذي به كسر:

$16 \frac{2}{5}$

خطوة 11