الجبر الأمثلة

$y = \frac{e^{x^{8}}}{2}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{e^{y^{8}}}{2}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$ .

$\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$

خطوة 2.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y^{8}} = 2 x$

خطوة 2.4

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y^{8}}) = \ln (2 x)$

خطوة 2.5

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وسّع $\ln (e^{y^{8}})$ بنقل $y^{8}$ خارج اللوغاريتم.

$y^{8} \ln (e) = \ln (2 x)$

خطوة 2.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y^{8} \cdot 1 = \ln (2 x)$

خطوة 2.5.3

اضرب $y^{8}$ في $1$ .

$y^{8} = \ln (2 x)$

خطوة 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

خطوة 2.7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

خطوة 2.7.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

خطوة 2.7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ هي معكوس $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ و $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ وقارن بينهما.

خطوة 4.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[\frac{1}{2}, \infty)$

خطوة 4.3

أوجِد نطاق $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (2 x)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 x > 0$

خطوة 4.3.2

اقسِم كل حد في $2 x > 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 x > 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

خطوة 4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x > 0$

خطوة 4.3.3

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\ln (2 x) \geq 0$

خطوة 4.3.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

حوّل التباين إلى تساوٍ.

$\ln (2 x) = 0$

خطوة 4.3.4.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (2 x)} = e^{0}$

خطوة 4.3.4.2.2

أعِد كتابة $\ln (2 x) = 0$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 2 x$

خطوة 4.3.4.2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x = e^{0}$ .

$2 x = e^{0}$

خطوة 4.3.4.2.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$2 x = 1$

خطوة 4.3.4.2.3.3

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.3.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.4.2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.4.2.3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.4.3

أوجِد نطاق $\ln (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (2 x)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 x > 0$

خطوة 4.3.4.3.2

اقسِم كل حد في $2 x > 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 x > 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

خطوة 4.3.4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

خطوة 4.3.4.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

خطوة 4.3.4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.3.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x > 0$

خطوة 4.3.4.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(0, \infty)$

خطوة 4.3.4.4

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \geq \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

خطوة 4.4

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 4.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ هو مدى $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ ومدى $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ هو نطاق $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ هي معكوس $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

خطوة 5