الجبر الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 4$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اعزِل $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع ${(x - 1)}^{2}$ و $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + 4$

خطوة 1.1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + 4$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = 4$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(1, 4)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

خطوة 1.5.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

خطوة 1.5.3.3

اقسِم $4$ على $4$ .

$- \frac{1}{1}$

خطوة 1.5.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{1}$

خطوة 1.5.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 1$

خطوة 1.5.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1, 3)$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 1$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = 5$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, 4)$

البؤرة: $(1, 3)$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = 5$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, 4)$

البؤرة: $(1, 3)$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = 5$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} + \frac{15}{4}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.3

أضف $- 1$ و $15$ .

$f (- 1) = \frac{14}{4} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $14$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $14$ .

$f (- 1) = \frac{2 (7)}{4} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 1) = \frac{7}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 1) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{7 - 1}{2}$

خطوة 2.2.5.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

اطرح $1$ من $7$ .

$f (- 1) = \frac{6}{2}$

خطوة 2.2.5.2.2

اقسِم $6$ على $2$ .

$f (- 1) = 3$

خطوة 2.2.6

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $3$ .

$y = 3$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{4} + \frac{0}{2} + \frac{15}{4}$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 15}{4} + \frac{0}{2}$

خطوة 2.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{- 0 + 15}{4} + \frac{0}{2}$

خطوة 2.5.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 15}{4} + \frac{0}{2}$

خطوة 2.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أضف $0$ و $15$ .

$f (0) = \frac{15}{4} + \frac{0}{2}$

خطوة 2.5.3.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (0) = \frac{15}{4} + 0$

خطوة 2.5.3.3

أضف $\frac{15}{4}$ و $0$ .

$f (0) = \frac{15}{4}$

خطوة 2.5.4

الإجابة النهائية هي $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = 0$ تساوي $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{15}{4}$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (3) = \frac{- {(3)}^{2} + 15}{4} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 9 + 15}{4} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.8.2.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f (3) = \frac{- 9 + 15}{4} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.8.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.1

أضف $- 9$ و $15$ .

$f (3) = \frac{6}{4} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (3) = \frac{2 (3)}{4} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (3) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (3) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.8.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (3) = \frac{3 + 3}{2}$

خطوة 2.8.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.4.1

أضف $3$ و $3$ .

$f (3) = \frac{6}{2}$

خطوة 2.8.3.4.2

اقسِم $6$ على $2$ .

$f (3) = 3$

خطوة 2.8.4

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 3$ تساوي $3$ .

$y = 3$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + \frac{2}{2} + \frac{15}{4}$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 15}{4} + \frac{2}{2}$

خطوة 2.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 15}{4} + \frac{2}{2}$

خطوة 2.11.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 15}{4} + \frac{2}{2}$

خطوة 2.11.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.3.1

أضف $- 4$ و $15$ .

$f (2) = \frac{11}{4} + \frac{2}{2}$

خطوة 2.11.3.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$f (2) = \frac{11}{4} + 1$

خطوة 2.11.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (2) = \frac{11}{4} + \frac{4}{4}$

خطوة 2.11.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{11 + 4}{4}$

خطوة 2.11.3.5

أضف $11$ و $4$ .

$f (2) = \frac{15}{4}$

خطوة 2.11.4

الإجابة النهائية هي $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & \frac{15}{4} \\ 1 & 4 \\ 2 & \frac{15}{4} \\ 3 & 3 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, 4)$

البؤرة: $(1, 3)$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & \frac{15}{4} \\ 1 & 4 \\ 2 & \frac{15}{4} \\ 3 & 3 \end{array}$

خطوة 4